题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x3-

3

2

ax2+a，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切线的斜率为12，求a的值；
（II）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值．

答案

（I）f（x）的定义域为R                                      …（1分）
∵f（x）=x3-

3

2

ax2+a，∴f′（x）=3x²-3ax…（2分）
又∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为12，
∴f"（3）=12
∴3×3²-9a=0…（5分）
∴a=3                                                      …（6分）
（II）∵f′（x）=3x²-3ax
由 f′（x）=3x²-3ax=0得x₁=0，x₂=a                    …（7分）
当a≤0时，在区间（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=0时，函数f（x）有最小值是f（0）=a；   …（9分）
当0＜a＜1时，在区间（0，a）上f（x）＜0，f（x）单调递减，在区间（a，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=a时，函数f（x）有最小值是f(a)=-

1

2

a3+a；          …（11分）
当a≥1时，在区间（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）有最小值是f(1)=1-

a

2

．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）的最小值是f（0）=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值是f(a)=-

1

2

a3+a；
当a≥1时，函数f（x）的最小值是f(1)=1-

a

2

．…（14分）