题目
题型:宜宾一模难度:来源:
x |
(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;
(2)求证:当1<x<e2时,恒有x<
2+lnx |
2-lnx |
(3)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1,求C1与f(x)对应曲线C2的交点个数,并说明理由.
答案
a |
x |
∴g(x)=x-2
x |
1 | ||
|
由g′(x)=1-
1 | ||
|
∴g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).…(4分)
(2)∵1<x<e2,
∴0<lnx<2,
∴2-lnx>0.
欲证x<
2+lnx |
2-lnx |
即只需证lnx>
2(x-1) |
x+1 |
记F(x)=lnx-
2(x-1) |
x+1 |
则F′(x)=
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
当x>1时,F"(x)>0,
∴F(x)在(1,+∞)上是增函数.
∴F(x)>F(1)=0,
∴F(x)>0,即lnx-
2(x-1) |
x+1 |
∴lnx>
2(x-1) |
x+1 |
(3)由题意知C1:h(x)=x-2
x |
问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2
x |
G′(x)=2x-2
1 |
x |
1 | ||
|
2x2-2-x+
| ||
x |
(
| ||||||
x |
由G"(x)>0,得x>1;由G"(x)<0,得0<x<1.
∴G(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减.
又G(1)=-4<0,所以G(x)=x2-2lnx-(x-2
x |
在(0,+∞)上有2个解.
即C1与f(x)对应曲线C2的交点个数是2.…(14分)
核心考点
试题【已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-ax,且f(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;(2)求证】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
lim |
n→∞ |
1 |
n |
lim |
n→∞ |
2n-n2sin
| ||
2n-1 |
|
lim |
n→∞ |
lim |
n→∞ |
n2+12n |
2n2-30 |
lim |
n→∞ |
lim |
n→∞ |
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