题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx     x≥1.

（Ⅰ）当x＜1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

答案

（Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，f"（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0得x=0或x=

2

3

当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x＜

2

3

时，f′（x）＞0，当x＞

2

3

时，f′（x）＜0
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0
当x=

2

3

时，f（x）取得极大值f（

2

3

）=

4

27

（Ⅱ）①由（1）知当-1≤x≤1时，f（x）在x=

2

3

处取得极大值f(

2

3

)=

4

27

．
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．（4分）
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，
f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最大值为a．
所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．（8分）
（Ⅲ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以

OP

•

OQ

=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程无实数解．
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：

1

a

=（t+1）lnt，（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h"（x）=lnx+

1

x

+1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程

1

a

=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分）