题目
题型:宁波二模难度:来源:
(Ⅰ)如果x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)求实数a的值,使得函数f(x)同时具备如下的两个性质:
①对于任意实数x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
②对于任意实数x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
答案
1 |
x |
依题意,f"(1)=1+2a-(3a+1)=0,解得a=0.
此时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
因为x∈(0,+∞),令f"(x)>0,可得x∈(0,1);令f"(x)<0,可得x∈(1,+∞).
所以,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
因此,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=0.
(Ⅱ)令F(x1,x2)=
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
=
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
a |
2 |
x | 21 |
x | 22 |
x1+x2 |
2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
由(Ⅰ)中的结论可知,lnx-x+1<0对任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,即lnx<x-1(*)恒成立.
(ⅰ)如果x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,则
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
根据(*)可得ln(
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
若f(x)满足性质①,则
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
于是
a |
4 |
1 |
8x1x2 |
1 |
2 |
(ⅱ)如果x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,则0<
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
根据(*)可得ln(
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
则F(x1,x2)<
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
于是
a |
4 |
1 |
2(x1+x2)2 |
1 |
2 |
综合(ⅰ)(ⅱ)可得,a=
1 |
2 |
核心考点
试题【设函数f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.(Ⅰ)如果x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值及f(x)的最大值;(Ⅱ)求实】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
(1+b)n |
(1)求an和an-1的关系式;
(2)写出用n和b表示an的表达式;
(3)当0<b<1时,求极限
lim |
n→∞ |
lnx |
a |
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;
(II)若对一切正数x,都有f(x)≤-1恒成立,求a的取值集合.
lim |
x→1 |
f(3)-f(1+2x) |
x-1 |
A.3 | B.1 | C.-1 | D.-3 |
lim |
n→∞ |
|AB|2 |
|CD|2 |
最新试题
- 1已知平面向量,则向量= [ ]A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,2) C.(﹣1,0) D.(﹣2,1)
- 2在做研究平抛运动的实验时,让小球多次沿同一轨道运动,通过描点法.用一张印有小方格的纸记录轨迹,小方格的边长为L=1.25
- 3一质点做简谐运动的振动图象如图所示,质点在哪两段时间内的速度与加速度方向相同( )A.0~0.3s和0.3~0.6sB
- 4质量为60kg的人站在升降机内的台秤上,现测得其体重为880N,试确定升降机的运动情况( )A.加速下降B.加速上升C
- 5不能用Cl2跟金属单质直接化合制取的物质是 A. Al
- 6Scientific experiments __________ by students without the te
- 7春秋战国时期思想领域中出现了百家争鸣的局面,下列各思想流派与其代表人物搭配正确的是( )A.墨家——孟子B.儒家——庄
- 8【题文】读下面一则小故事,根据文意在横线处填写一句恰当的话。(4分)元朝文人胡石塘名声很大,他应聘到京城,皇帝元世祖忽必
- 9阅读下列两则材料,回答问题。 材料一:据俄新社报道,塔吉克斯坦3月10日推出了一个措施:所有中小学师生今后在学校禁用手
- 10The young man was by his grandma in London,so he can sp
热门考点
- 11926年,国民政府决定出师北伐。北伐的主要对象不包括[ ]A.吴佩孚 B.孙传芳 C.张作霖 D.段祺瑞
- 2根据汉语完成句子。1. It takes me a week____ we know the full results
- 3阅读下面文字,然后回答问题。潮州韩文公庙碑苏轼匹夫而为百世师,一言而为天下法。是皆有以参天地之化,关盛衰之运。其生也有自
- 4反比例函数y=kx的图象经过点P(a,b),其中a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根,那么点P的坐标是_____
- 5某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,小时内供水总量为吨
- 6阅读下面的文字,完成下题。传统文化与文化传统庞朴经过了一个多世纪的代价巨大的社会实验,中国人终于懂得了一个真理:未来的陷
- 7第二节:完形填空(共10小题;每小题1.5分,满分15分) Do you know the modern Olympic
- 8为了适应南通经济快速发展的形势以及铁路运输和客流量大幅上升的需要,南通火车站扩建工程共投资73 150 000元.将73
- 9如图电路中,当合上开关S后,两个标有“3V、1W”的灯泡均不发光,用电压表测得Uac=Ubd=6V,如果各段导线及接线处
- 10下面关于俄罗斯领土分布的叙述,错误的是[ ]A.位于亚欧大陆的中部 B.世界上跨经度最广的国家 C.濒临北冰