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函数极值与最值
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题目
题型:西城区二模
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
2
3
x
3
-2
x
2
+(2-a)x+1
,其中a>0.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[2,3]上的最小值.
答案
(Ⅰ)f(x)的定义域为R,且 f"(x)=2x
2
-4x+2-a.
当a=2时,
f(1)=
2
3
-2+1=-
1
3
,f"(1)=2-4=-2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y+
1
3
=-2(x-1)
,
即 6x+3y-5=0.
(Ⅱ)方程f"(x)=0的判别式△=8a>0,
令 f"(x)=0,得
x
1
=1-
2a
2
,或
x
2
=1+
2a
2
.f(x)和f"(x)的情况如下:
x
(-∞,x
1
)
x
1
(x
1
,x
2
)
x
2
(x
2
,+∞)
f"(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
核心考点
试题【已知函数f(x)=23x3-2x2+(2-a)x+1,其中a>0.(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[2】;主要考察你对
函数极值与最值
等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=2ae
x
+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为常数,e=2.718…,函数y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为l
1
,函数y=g(x)的图象与直线y=1交点处的切线为l
2
,且l
1
∥
l
2
.
(Ⅰ)若对任意的x∈[1,5],不等式
x-m>
x
f(x)-
x
成立,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x.我们把|f(x
0
)-g(x
0
)|的值称为两函数在x
0
处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2.
题型:顺义区二模
难度:
|
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设点P是曲线y=x
2
上的一个动点,曲线y=x
2
在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x
2
的另一交点为Q,则PQ的最小值为______.
题型:盐城三模
难度:
|
查看答案
曲线
f(x)=
f′(1)
e
e
x
-f(0)x+
1
2
x
2
在点(1,f(1))处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=e
x
•sinx+1在点(π,1)处的切线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=(
x
2
+x-a)
e
x
a
(a>0).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x=-5时,f(x)取得极值.
①若m≥-5,求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值;
②求证:对任意x
1
,x
2
∈[-2,1],都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤2.
题型:房山区二模
难度:
|
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