题目
题型:顺义区二模难度:来源:
(Ⅰ)若对任意的x∈[1,5],不等式x-m>
x |
x |
(Ⅱ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域内的任意实数x.我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2.
答案
又f′(x)=2aex,∴f′(0)=2a,
函数y=g(x)的图象与直线y=1的交点为(2a,1),
又g′(x)=
1 |
x |
1 |
2a |
由题意可知,2a=
1 |
2a |
1 |
4 |
又a>0,所以a=
1 |
2 |
不等式x-m>
x |
x |
x |
x |
即m<x-
x |
x |
1 | ||
2
|
x |
∵x>0,∴
1 | ||
2
|
x |
2 |
又x>0时,ex>1,∴(
1 | ||
2
|
x |
∴h(x)在(0,+∞)上是减函数
即h(x)在[1,5]上是减函数
因此,在对任意的x∈[1,5],不等式x-m>
x |
x |
只需m<h(5)=5-
5 |
所以实数m的取值范围是(-∞,5-
5 |
(Ⅱ)证明:y=f(x)和y=g(x)公共定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)可知a=
1 |
2 |
∴|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|
令q(x)=ex-x-1,则q′(x)=ex-1>0,
∴q(x)在(0,+∞)上是增函数
故q(x)>q(0)=0,即ex-1>x …①
令m(x)=lnx-x+1,则m′(x)=
1 |
x |
当x>1时,m′(x)<0;当0<x<1时,m′(x)>0,
∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x…②
由①②得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2
又由①得ex>x+1>x
由②得lnx<x-1<x,∴ex>lnx
∴|f(x)-g(x)|=ex-lnx>2
故函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域的所有偏差都大于2…(13分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=2aex+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为常数,e=2.718…,函数y=f(x)的图象与坐标轴交点处的切线为l1,函数y=】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
f′(1) |
e |
1 |
2 |
x |
a |
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x=-5时,f(x)取得极值.
①若m≥-5,求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值;
②求证:对任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围;
(3)若当x≥0时,不等式f(x)≤-x-1恒成立,求实数a的最大值.
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