当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数极值与最值 > 已知函数f(x)=13x3-32x2+2x+5.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,求实数m的取值范围....
题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+2x+5

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+2x+5

∴f"(x)=x2-3x+2,
令f"(x)=0,解得x=1或x=2,
∴当x<1或x>2时,f"(x)>0,当1<x<2时,f"(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞),单调递增区间为(1,2);
(Ⅱ)令f(x)=2x+m,即
1
3
x3-
3
2
x2+2x+5=2x+m

1
3
x3-
3
2
x2+5=m

设g(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+5

∵曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,
∴函数y=g(x)与y=m有三个不同的交点,
令g"(x)=0,解得x=0或x=3,
当x<0或x>3时,g"(x)>0,
当0<x<3时,g"(x)<0,
∴g(x)在(-∞,0),(3,+∞)单调递增,在(0,3)单调递减,
g(0)=5,g(3)=
1
2
,画出函数g(x)的大值图象如右图,
∴实数m的取值范围为
1
2
<m<5
核心考点
试题【已知函数f(x)=13x3-32x2+2x+5.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,求实数m的取值范围.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=ex,g(x)=lnx.
(Ⅰ)求证:g(x)<x<f(x);
(Ⅱ)设直线l与f(x)、g(x)均相切,切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2)),且x1>x2>0,求证:x1>1.
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已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)求证:当x∈(0,e]时,e2x-
5
2
>lnx+
lnx
x
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已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(Ⅲ)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
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已知f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-
ln(-x)
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
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若不等式x+2


2xy
≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立,则正数a的最小值为(  )
A.1B.2C.


2
+
1
2
D.2


2
+1
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