题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=,x∈［0，2］.
（1）求f(x)的值域；
（2）设a≠0,函数g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若对任意x₁∈［0，2］，总存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求实数a的取值范围.

答案

（1）f(x)的值域是（2）实数a的取值范围是

解析

 （1）方法一 对函数f(x)求导，f′(x)=·.
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上单调递增；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,
∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是.
方法二 当x=0时，f(x)=0;
当x∈(0，2］时，f(x)＞0且
f(x)=·≤·=，
当且仅当x=,即x=1时，“=”成立.
∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是.
(2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A.
∵对任意x₁∈［0，2］，总存在x₀∈［0，2］，
使f(x₁)-g(x₀)=0,∴A.
对函数g(x)求导，g′(x)=ax²-a².
①当x∈(0,2),a＜0时，g′(x)＜0,
∴函数g(x)在（0，2）上单调递减.
∵g(0)=0,g(2)=a-2a²＜0,
∴当x∈［0，2］时，不满足A；
②当a＞0时，g′(x)=a(x-)(x+).
令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.
（ⅰ)当x∈［0，2］，0＜＜2时，列表：

x	0	（0，）		（，2）	2
		-	0	+
g(x)	0		-

∵g(0)=0,g()＜0,
又∵A，∴g（2）=≥.
解得≤a≤1.
(ⅱ)当x∈(0,2),≥2时，g′(x)＜0,
∴函数在（0，2）上单调递减，
∵g（0）=0，g（2）=＜0,
∴当x∈［0，2］时，不满足A.
综上，实数a的取值范围是.