题目

题型：海南省模拟题难度：来源：

已知函数，
(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)当a=1时，，
对于x∈[1，e]，有f′(x)＞0，
∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，
∴。
(Ⅱ)令，
在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方，等价于g(x)＜0在区间（1，+∞）上恒成立，
∵，
令g′(x)=0，得，
①若，即时，
在区间(x₂，+∞)上有g′(x)＞0，在区间(1，x₂)上，g′(x)＜0，
此时g(x)在区间(x₂，+∞)上是增函数，在(1，x₂)为减函数，
并且在区间(1，+∞)上有g(x)∈(g(x₂)，+∞)，不合题意；
②当，即a≥1时，在区间(1，+∞)上，g′(x)＞0，
故g(x)在区间(1，+∞)上是增函数，
所以g(x)在区间(1，+∞)上，有g(x)∈(g(1)，+∞），也不合题意；
③若a≤，则有2a-1≤0，此时在区间(1，+∞)上，有g′(x)＜0，
从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数，
要使g(x)＜0在此区间上恒成立，只需满足，
由此求得a的范围是，
综上可知，当a∈时，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方。