题目
题型:安徽省模拟题难度:来源:
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(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈
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(Ⅲ)试证明:对任意正数a和正整数n,不等式
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答案
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,∴
在x∈(0,+∞)恒成立,
故f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。
(Ⅱ)依题意,问题转化为,
令,
首先求在x∈
上的最大值,
由于,
当时,
,所以
在
上递减,
故在
上的最大值是
,
即;
其次求函数在
上的最小值,
∵,
∴,
令,记
,
由知
转化为求函数
在
上的最小值,
又(当且仅当t=m时,取等号),
(ⅰ)若,
此时由,知
,
解得:,
∴;
(ⅱ)若m>6,函数y=h(t)在上为减函数,
则,
由题意,有恒成立,∴m>6;
(ⅲ)若,函数y=h(t)在
上为增函数,
则,
因此必须,
又由于知,此时m无解;
综上所述,m的取值范围是。
(Ⅲ)问题即证:,
也即证:,
用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=0,右=0,显然不等式成立;
(ⅱ)假设n=k(k≥1)时,原不等式成立,
即,
则n=k+1时,,
这就是说,n=k+1时,原不等式也成立;
综上所述,对任意正数a和正整数n,不等式都成立。
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+2lnx,f′(x)表示f(x)的导函数,(其中m∈R,且m>0),(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈,都有f′(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,2]上单调递减,求b的取值范围。
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在
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(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
(Ⅰ)若a=
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(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围。
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
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