题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f(x)=x³+ax²+x+1，a∈R，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²+2ax+1，判别式△=4(a²-3)，
(ⅰ)若或，则在上f′(x)＞0，f(x)是增函数；
在内f′(x)＜0，f(x)是减函数；
在上f′(x)＞0，f(x)是增函数。
(ⅱ)若，则对所有x∈R都有f′(x)＞0，故此时f(x)在R上是增函数；
(ⅲ)若，则，且对所有的都有f′(x)＞0，
故当时，f(x)在R上是增函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，只有当或时，f(x)在内是减函数，
因此，①
且，②
当时，由①②解得a≥2，
因此a的取值范围是[2，+∞)。