题目
题型:湖北省高考真题难度:来源:
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(Ⅰ)确定b,c的值;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)。 证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)。
(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围。
答案
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f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b,f′(0)=b
又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,
得f(0)=1,f′(0)=0,
故b=0,c=1。
(Ⅱ)
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由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t),
而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f"(x)(-t),
化简得
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即t满足的方程为
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下面用反证法证明,
假设f′(x1)=f′(x2),
由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及 (x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),
则下列等式成立:
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由(3)得x1+x2=a,由(1)-(2)得
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又
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故由(4)得
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此时
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所以f′(x1)≠f′(x2);
(Ⅲ)由(Ⅱ0知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,
等价于方程2-f(t)=f"(t)(0-t)有三个相异的实根,
即等价于方程
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设
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则
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由于a>0,故有
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由g(t)的单调性知:要使g(t)=0有三个相异的实根,
当且仅当
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∴a的取值范围是
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核心考点
试题【设函数,其中a>0。曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1。(Ⅰ)确定b,c的值;(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)将y表示成x的函数;
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧
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B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,+∞)
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B.[-1,
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C.[-
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D.(-
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