题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

已知函数。
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性。

答案

解：（Ⅰ）当时，
所以
因此f"（2）=l
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1
又f（2）=ln2+2
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2
即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因为
所以
                  
令g（x）=ax²-x+l-a，x∈（0，+∞）
 （1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞）
所以当x∈（0，1）时，g（x）>0，此时f"（x）<0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）<0，函数f（x）单调递增；
 （2）当a≠0时，由f"（x）=0， 即ax²-x+1-a=0
解得x₁=1，x₂=-1
①当时，，g（x）≥0恒成立，此时f"（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当时，
x（0，1）时，g（x）>0，此时f"（x）<0，函数f（x）单调递减；
时，g（x）<0，此时f"（x）>0，函数f（x）单调递增；
时，g（x）>0，此时f"（x）<0，函数f（x）单调递减；
③当时，由于
x∈（0，1）时，g（x）>0，此时f"（x）<0，函数f（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，g（x）<0，此时，f"（x）>0，函数f(x)单调递增。
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减； 函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在上单调递增；
函数f（x）在上单调递减。