题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx-ax²-（2-a）x。
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；
（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f′（ x₀）＜0。

答案

解：（1）f（x）的定义域为

（i）若，则，所以f（x）在单调增加
（ii）若，则由得
且当时，
当时，
所以在单调增加
在单调减少；
（2）设函数
则

当时，
而
所以
故当时，；
（3）由（1）可得，当时，函数y=f（x）的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且
不妨设
则
由（2）得
从而
于是
由（1）知，。