题目

题型：0128 模拟题难度：来源：

设x=3是函数f(x)=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；
（2）设a＞0，，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f(ξ₁)-f(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范围。

答案

解：（1）∵，
∴
，
由题意得：，
即，b=-2a-3，
∴且，
令得，
∵x=3是函数的一个极值点，
∴，即a≠-4，
故a与b的关系式为b=-2a-3（a≠-4），
当a＜-4时，，由得单增区间为：（3，-a-1）；
由得单减区间为：（-∞，3）和（-a-1，+∞）；
当a＞-4时，，由得单增区间为：（-a-1，3）；
由得单减区间为：（-∞，-a-1）和（3，+∞）；
（2）由（1）知：当a＞0时，，f(x)在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
，，
∴f(x)在[0，4]上的值域为；
易知在[0，4]上是增函数，
∴g(x)在[0，4]上的值域为，
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必须且只须，解得：；
所以，a的取值范围为。