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题目
题型:0128 模拟题难度:来源:
设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点,
(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(2)设a>0,,若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-f(ξ2)|<1成立,求a的取值范围。
答案
解:(1)∵


由题意得:
,b=-2a-3,


∵x=3是函数的一个极值点,
,即a≠-4,
故a与b的关系式为b=-2a-3(a≠-4),
当a<-4时,,由得单增区间为:(3,-a-1);
得单减区间为:(-∞,3)和(-a-1,+∞);
当a>-4时,,由得单增区间为:(-a-1,3);
得单减区间为:(-∞,-a-1)和(3,+∞);
(2)由(1)知:当a>0时,,f(x)在[0,3]上单调递增,在[3,4]上单调递减,

∴f(x)在[0,4]上的值域为
易知在[0,4]上是增函数,
∴g(x)在[0,4]上的值域为
由于
又∵要存在,使得成立,
∴必须且只须,解得:
所以,a的取值范围为
核心考点
试题【设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点, (1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间; (2)设a>0,,若】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2-3x。
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值。
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已知f(x)=
(1)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的最大值;
(2)求证:f(x)≤1-
(3)比较f(22)+f(32)+…+f(n2)与的大小,并证明你的结论。


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已知函数f(x)=x3-ax(a∈R),
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使得≤f(x)≤0对任意的x∈[0,1]成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。
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已知f(x)=x2+ax+c(a≠1)。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=2时,已知f(x)的图象与x轴有三个不同的交点,求c的取值范围。
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已知函数f(x)=ex(ax+1)(e为自然对数的底,a∈R为常数)。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)对于函数h(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数h(x),g(x)的分界线,设a=1,问函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1是否存在“分界线”?若存在,求出常数k,m。若不存在,说明理由。
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