题目
题型:专项题难度:来源:
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[ ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由。
答案
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),从而f′(x)=alnx,
∵a≠0,故
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,
由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1;
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx,
由(2)可得,当x∈(,e),f(x),f′(x)变化情况如下表:
因为
所以y=f(x)在上的值域为[1,2],
据此可得,若则对每一个直线与曲线都有公共点;并且对每一个,直线与曲线都没有公共点
综上,当时,存在最小的实数,最大的实数,使得对每一个,直线与曲线()都有公共点。
核心考点
试题【已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)。(1)求实数b的值;(2)求函数f(x)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
①△ABC一定是钝角三角形;②△ABC可能是直角三角形;③△ABC可能是等腰三角形;④△ABC不可能是等腰三角形;
其中,正确的判断是
[ ]
B.①④
C.②③
D.②④
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
[ ]
B.
C.
D.[-4,-3]∪[0,1]∪[5,6]
B.f(x)既有极小值f(2),又有极大值f(-1)
C.f(x)在(-∞,2)上为增函数
D.f(x)在(-∞,-1)∪(-1,2)上为减函数
B.(-∞,)∪(3,+∞)
C.
D.(-∞,-3)
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