题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=(x-1)²-aln|x-1|(a∈R，a≠0)，
(1)当a=8时，求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[e+1，e²+1]上的最小值。

答案

解：(1)∵a=8，
∴f(x)=(x-1)²-81n|x-1|，
①当x＞1时，f(x)=(x-1)²-81n(x-1)，
，
由f′(x)＞0，得2(x-1)²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
因为x＞1，所以函数f(x)的单调递增区间是(3，+∞)；
由f′(x)＜0，得2(x-1)²-8＜0，解得-1＜x＜3，
因为x＞1，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，3)；
②当x＜1时，f(x)=(x-1)²-8ln(1-x)，
，
由f′(x)＞0，得2(x-1)²-8＜0，解得-1＜x＜3，
因为x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1)；
由f′(x)＜0，得2(x-1)²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
因为x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-1)；
综上所述，函数f(x)的单调递增区间是(-1，1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-∞，-1)，(1，3)。
(2)当x∈[e+1，e²+1]时，f(x)=(x-1)²-aln(x-1)，
所以f′(x)=2(x-1)-，
设g(x)=2x²-4x+2-a，
①当a＜0时，有Δ=16-4×2×(2-a)=8a＜0，此时g(x)＞0，所以f′(x)＞0，
所以f(x)在区间[e+1，e²+1]上单调递增，
所以f(x)_min=f(e+1)=e²-a；
②当a＞0时，Δ=16-4×2×(2-a)=8a＞0，
令f′(x)＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1或x＜(舍去)；
令f′(x)＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得，
ⅰ．若，即a≥2e⁴时f(x)在区间[e+1，e²+1]上单调递减，所以f(x)_min=f(e²+1)=e⁴-2a；
ⅱ．若，即2e²＜a＜2e⁴时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
ⅲ．若，即0＜a≤2e²时，f(x)在区间[e+1，e²+1]上单调递增，
所以f(x)_min=f(e+1)=e²-a；
综上所述，当a＜0或0＜a≤2e²时，f(x)_min=f(e+1)=e²-a；
当2e²＜a＜2e⁴时，；
当a≥2e⁴时，f(x)_min=e⁴-2a。