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题目
题型:北京模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=(x-1)2-aln|x-1|(a∈R,a≠0),
(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上的最小值。
答案

解:(1)∵a=8,
∴f(x)=(x-1)2-81n|x-1|,
①当x>1时,f(x)=(x-1)2-81n(x-1),

由f′(x)>0,得2(x-1)2-8>0,解得x>3或x<-1,
因为x>1,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞);
由f′(x)<0,得2(x-1)2-8<0,解得-1<x<3,
因为x>1,所以函数f(x)的单调递减区间是(1,3);
②当x<1时,f(x)=(x-1)2-8ln(1-x),

由f′(x)>0,得2(x-1)2-8<0,解得-1<x<3,
因为x<1,所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1);
由f′(x)<0,得2(x-1)2-8>0,解得x>3或x<-1,
因为x<1,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1);
综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+∞);单调递减区间是(-∞,-1),(1,3)。
(2)当x∈[e+1,e2+1]时,f(x)=(x-1)2-aln(x-1),
所以f′(x)=2(x-1)-
设g(x)=2x2-4x+2-a,
①当a<0时,有Δ=16-4×2×(2-a)=8a<0,此时g(x)>0,所以f′(x)>0,
所以f(x)在区间[e+1,e2+1]上单调递增,
所以f(x)min=f(e+1)=e2-a;
②当a>0时,Δ=16-4×2×(2-a)=8a>0,
令f′(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1或x<(舍去);
令f′(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得
ⅰ.若,即a≥2e4时f(x)在区间[e+1,e2+1]上单调递减,所以f(x)min=f(e2+1)=e4-2a;
ⅱ.若,即2e2<a<2e4时,
f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以
ⅲ.若,即0<a≤2e2时,f(x)在区间[e+1,e2+1]上单调递增,
所以f(x)min=f(e+1)=e2-a;
综上所述,当a<0或0<a≤2e2时,f(x)min=f(e+1)=e2-a;
当2e2<a<2e4时,
当a≥2e4时,f(x)min=e4-2a。

核心考点
试题【已知函数f(x)=(x-1)2-aln|x-1|(a∈R,a≠0),(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=+lnx,
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有lnn>
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x-aex-1
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0对x∈R恒成立,求a的取值范围;
(3)对任意n个正整数a1,a2,…,an,记
①求证:(i=1,2,…,n);
②求证:
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-ax2-bx,
(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(3)若f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,AB的中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0。
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数,g(x)=x2-2mx+4。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥ g(x2),求实数m的取值范围。
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
函数f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,1)上恒为增函数,则实数m的取值范围是(    )。
题型:江苏同步题难度:| 查看答案
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