题目
题型:福建省高考真题难度:来源:
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立,①
设ψ(x)=x2-ax-2,
①,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,
且只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0,
∴A={a|-1≤a≤1};
(Ⅱ)由,得x2-ax-2=0,
∵△=a2+8>0,
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
从而|x1-x2|=,
∵-1≤a≤1,
∴|x1-x2|=≤3,
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立, ②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
②g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2,
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}。
核心考点
试题【已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.
C.
D.
(Ⅰ)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若任意给定的x0∈[0,2],在[0,2]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围。
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