题目
题型:天津模拟题难度:来源:
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的大小,并说明理由;
(Ⅲ)求证:当1<t<4时,关于x的方程:(t-1)2在区间[-2,t]上总有两个不同的解。
答案
由f′(x)>0x>1或x<0;由f′(x)<00<x<1,
所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,
要使f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0;
(Ⅱ)解:f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,
∴f(x)在x=1处有极小值e,
又,
∴f(x)在[-2,+∞)上的最小值为f(-2),
从而当t>-2时,f(-2)<f(t)。
(Ⅲ)证明:∵f′(x)=ex(x2-x),
又,
∴,
令,
从而问题转化为证明当1<t<4时,方程=0在(-2,t)上有两个解,
,
当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0),
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解。
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2-3x+3)·ex, (Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数; (Ⅱ)当t>-2时,判断f(-2)和f(t】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,。
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2)。
(Ⅰ)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅱ)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围。
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1。
(1)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意实数,m∈(0,+∞),不等式f"(x)>x2m2-(x2+1)m+x2-x+1 恒成立,求x的取值范围。
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