题目
题型:云南省模拟题难度:来源:
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1.
答案
(1)解:∵f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R,
∴f"(x)=ex﹣2,x∈R.
令f"(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
故f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a).
(2)证明:设g(x)=ex﹣x2+2ax﹣1,x∈R,
于是g′(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2﹣1时, g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2﹣1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex﹣x2+2ax﹣1>0,
故ex>x2﹣2ax+1.
核心考点
试题【设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.(﹣∞,1)
C.(﹣∞,1]
D.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
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