题目
题型:福建省月考题难度:来源:
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)有极值,求实数a的取值范围和函数f(x)的值域;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数g(x)=x3﹣x﹣2,证明:x1∈(1,e),x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
答案
∵函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,
∴
∴
(Ⅱ)由,可得
∵x∈(1,e)∴∴
经检验时,f(x)有极值.
∴实数a的取值范围为.
列表
f(x)的极大值为
又∵f(1)=a,f(e)=ae+1
由a≥ae+1,解得
又∵
∴当时,函数f(x)的值域为
当时,函数f(x)的值域为.
(Ⅲ)证明:∵当x∈(1,e)时,g"(x)=3x2﹣1>0,
∴g(x)在(1,e)上为单调递增函数
∵g(1)=﹣2,g(e)=e3﹣e﹣2
∴g(x)在(1,e)的值域为(﹣2,e3﹣e﹣2)
∵e3﹣e﹣2>,﹣2<ae+1,﹣2<a
∴(﹣2,e3﹣e﹣2),(﹣2,e3﹣e﹣2)
∴x1∈(1,e),x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx,x∈(l,e).(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1,求实数a的值;(Ⅱ)若f(x)有极值,求实数a的取值范围和】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
(1)求a的值;
(2)设函数在(0,1]上是增函数,且对于(0,1]内的任意两个变量s,t,恒有f(s)≥φ(t)成立,求实数b的取值范围;
(3)设,求证:[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*).
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