题目
题型:广东省期中题难度:来源:
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
答案
导函数为;
当0<x<1时,函数f(x)单调递增,
当时x>1时,函数f(x)单调递减;
故减区间为(1,+∞),增区间为(0,1);
(Ⅱ)由(1,+∞),故g(x)=x2﹣2x,
g"(x)=3x2+(4+m)x﹣2,
∵g(x)在区间(t,3)上总存在极值,
∴解得.
所以当m在内取值时,
对于任意的t∈[{1,2}],函数在区间(t,3)上总存在极值.
(Ⅲ)∴
①当p≤0时,由x∈[1,e]得px﹣≤0,﹣﹣2lnx<0.
所以,在[1,e]上不存在x0,使得h(x0)>f(x0)成立;
②当p>0时,F"(x)=,
∵x∈[1,e],
∴2e﹣2x≥0,px2+p>0,F"(x)>0在[1,e]上恒成立,
故F(x)在[1,e]上单调递增.
∴.,解得.
所以p的取值范围是.
核心考点
试题【已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求a的值;
(2)设函数在(0,1]上是增函数,且对于(0,1]内的任意两个变量s,t,恒有f(s)≥φ(t)成立,求实数b的取值范围;
(3)设,求证:[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*).
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当a=1时,对任意的正整数n>1,求证:,且不等式都成立.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)设b>0,a>1,求证:.
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