题目
题型:广东省月考题难度:来源:
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当a=1时,对任意的正整数n>1,求证:,且不等式都成立.
答案
∵函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴当x∈[1,+∞)时,不等式即恒成立.
∵当x∈[1,+∞)时,的最大值为1,
∴实数a的取值范围是[1,+∞);
(Ⅱ)解:当a=1时,
∴当时,f"(x)<0,于是f(x)在上单调递减;
当x∈(1,2]时,f"(x)>0,于是f(x)在(1,2]上单调递增.
又
综上所述,当x=1时,函数f(x)在上的最小值为f(1)=0,
当时,函数f(x)在上的最大值为
(Ⅲ)证明:当a=1时,由(Ⅰ)知在[1,+∞)上是增函数
∴对于任意的正整数n>1,有,则,
∴
∴.
而,成立
核心考点
试题【已知函数f(x)=.(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;(Ⅲ)当a=1时,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求正实数a的取值范围;
(2)设b>0,a>1,求证:.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)求函数y=f(x)在x∈[0,1]上的最小值.
(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(﹣x2+2x﹣4)>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(Ⅲ)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
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