题目
题型:四川省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)=x没有实数根,求证方程f(f(x))=x也没有实数根;
(Ⅲ)证明:
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答案
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①当
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②当﹣1<a<0时,令g′(x)>0,则ax2+2x+a>0
∴
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令g′(x)<0,则ax2+2x+a<0
∴
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∴
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综上所述,当a≤﹣1时,g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,
当﹣1<a<0时,g(x)在
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在
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(Ⅱ)证明:∵关于x的方程f(x)=x没有实数根
∴ax2+bx+c=x没有实数根
∴ax2+(b﹣1)x+c=0没有实数根
∴△=(b﹣1)2﹣4ac<0
∵f(f(x))=x
∴a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x
∴[ax2+(b﹣1)x+c][a2x2+a(b+1)x+b+ac+1]=0
∵ax2+(b﹣1)x+c≠0
∴a2x2+a(b+1)x+b+ac+1=0
∵△=a2(b+1)2﹣4a2(b+ac+1)=a2[(b+1)2﹣4(b+ac+1)]=a2[(b﹣1)2﹣4ac﹣4]<0
∴a2x2+a(b+1)x+b+ac+1=0无实根
∴方程f(f(x))=x也没有实数根;
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=﹣1时,g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,
当x∈(0,+∞)时,由g(x)<g(0)=0
得:ln(1+x2)<x,
∴
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∴
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核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+bx+c和函数g(x)=ln(1+x2)+ax(a<0).(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)=x没有实数根】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(II)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(﹣x2+2x﹣4)>0.
已知定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,且R(x)的最小值为0,函数h(x)=lnx,又函数f(x)=h(x)﹣R(x).
(I)求f(x)的单调区间;
(II)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(III)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
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(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;
(3)令
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(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于
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(3)记g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
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