题目
题型:四川省月考题难度:来源:
(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;
(3)令,试证明:.
答案
f(x)是R上的增函数.
(II)令g(x)=g(x)﹣ax3=x﹣ln(x+)﹣ax3.则
g"(x)=,
令h(x)=,则
h"(x)=,
(1)当a≥时,h"(x)≤0,从而h(x)是[0,+∞)上的减函数,
因h(0)=0,则x≥0时,h(x)≤0,也即g"(x)≤0,
进而g(x)是[0,+∞)上的减函数,
注意g(0)=0,则x≥0时,g(x)≤0,也即f(x)≤ax3,
(2)当0<a<时,在[0,],h"(x)>0,
从而x∈[0,]时,也即f(x)>ax3,
(3)当a≤0时,h"(x)>0,同理可知:f(x)>ax3,
综合,实数a的取值范围[,+∞).
(III)在(II)中取a=,则
x∈[0,],时,x﹣ln(x+)>x3,即 x3+ln(x+)<x,
令x=()2n,则
<()2n,
∴
核心考点
举一反三
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a﹣1)成立,试求a的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
A.af(a)≤bf(b)
B.af(a)≥bf(b)
C.af(b)≤bf(a)
D.af(b)≥bf(a)
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求f(x)的定义域、值域.
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