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题目
题型:辽宁省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x
(1)求f(x) 的单调区间
(2)若f(x) 与g(x) 有交点,且在交点处的切线均为直线y=3x ,求a,b 的值并证明:在公共定义域内恒有f(x) ≥g(x)
(3)设A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)) ,C (t,g(t)) 是y=g(x) 图象上任意三点,且<x1<t<x2, 求证:割线AC 的斜率大于割线BC 的斜率;
答案
解:(1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b
①当△≤0即b≥时,f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当△>0即b<时,由f′(x)=0得
若f′(x)>0,则
若f′(x)>0,则
∴f(x)的单调增区间为:;f(x) 的单调减区间为:
综上所述:当b≥时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当b<时, f(x)的单调增区间为:;f(x) 的单调减区间为:     
(2)
令g′(x)=3得:x=0  
∴切点为(0,0)
∴f(0)=0 
∴a=0
f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3  
∴a=0,b=3        
令φ(x)=f(x)-g(x)   则φ"(x)=f"(x)-g"(x)=
∴φ(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增,
所以φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0
∴φ(x) ≥0   即:f(x)≥g(x)            
(3)KAC=,KBC=
令φ(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1)  
则φ′(t)=2 (g(t)-g(x1))+ (1+2t)g′(t)-2(t-x1) -(3+2t)= 2 (g(t)-g(x1)) -2(t-x1) =2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))
∵y=ln(1+2x)在(-,+∞)上单调递增,且t>x1,
∴ln(1+2t)-ln(1+2x1)>0  
∴φ′(t) >0
∴φ(t)在(x1,t)上单调递增  
∴φ(t)> φ(x1)=0  
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1)) >(3+2t)(t-x1)  
∵t-x1>0,1+2t>0  
即KAC
同理可证:KBC
∴KAC>KBC  
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x(1)求f(x) 的单调区间(2)若f(x) 与g(x) 有交点,且在交点处的切线均为直】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三

已知y=f(x)是函数的反函数,
(Ⅰ)解关于x的不等式:
(Ⅱ)当a=1时,过点(-1,1)是否存在函数y=f(x)图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若a是使f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立的最小值,试比较的大小(0<λ<1,n∈N*)


题型:四川省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间[0,3]上的最小值.
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
已知a>0,函数
(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(Ⅱ)若恒成立,求实数a的取值范围.
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
设函数
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若存在区间,使f(x)在[a,b]上的值域是,求k的取值范围.
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
已知函数 不同时为零的常数),导函数为
(Ⅰ)当时,若存在,使得成立,求 的取值范围;
(Ⅱ)求证:函数内至少有一个零点;
(Ⅲ)若函数为奇函数,且在处的切线垂直于直线,关于的方程上有且只有一个实数根,求实数的取值范围.
题型:江苏省期中题难度:| 查看答案
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