题目

题型：不详难度：来源：

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（2）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（3）设a＞1，g(x)=x3-2a2x+a2-2a．当b=

1

2

时，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f(x1)-g(x2)|＜

1

2

，求实数a的取值范围．

答案

（1）f/(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

（x＞-1），
由题意，f′（x）≥0在（-1，+∞）内恒成立，或f′（x）≤0在（-1，+∞）内恒成立．
若f′（x）≥0，则2x²+2x+b≥0，即b≥-2x²-2x=-2（x+

1

2

）²+

1

2

恒成立，
显然，-2（x+

1

2

）²+

1

2

在（-1，+∞）内的最大值为

1

2

，所以b≥

1

2

；
f′（x）≤0，则2x²+2x+b≤0，
显然，该不等式在（-1，+∞）内不恒成立；
综上，所求b的取值范围为[

1

2

，+∞）；
（2）由题意，f（1）是函数的最小值也是极小值．
因此f′（1）=2+

b

2

=0，解得b=-4，
经验证b=-4符合题意；
（3）首先研究f（x），g（x）在[0，1]上的性质，
由（1），当b=

1

2

时，函数f（x）=x²+bln（x+1）在（-1，+∞）内单调递增，从从而f（x）在[0，1]上单调递增，
因此，f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=0，最大值为f（1）=1+

1

2

ln2，
g′（x）=3（x²-a²），由a＞1，知当x∈[0，1]时，g′（x）=3（x²-a²）＜0，
因此g（x）=x³-3a²x+a²-2a在[0，1]上单调递减．
∴g（x）_max=g（0）=a²-2a，g（x）_min=g（1）=1-2a²-2a，
∵a＞1，∴g（x）_min=g（1）=1-2a²-2a＜0，
①若g（x）_max=g（0）=a²-2a≥0，即a≥2时，两函数在[0，1]上有交点，此时a≥2显然满足条件；
②若g（x）_max=g（0）=a²-2a＜0，即1＜a＜2，f（x）的图象在上，g（x）的图象在下，
只需f（x）min-g（x）max＜

1

2

，即f（0）-g（0）＜

1

2

，
即-（a²-2a）＜

1

2

，
解得1+

2

2

＜a＜2．
综上，所求实数a的取值范围（1+

2

2

，+∞）．