已知函数f（x）=lnx，g（x）=a（x2-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=1，求函数h（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h （x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数：y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使线段AB的中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k=f′（x0）？若存在，求出x0；若不存在，请说明理由． |
（Ⅰ）由f（x）=lnx，g（x）=a（x2-x）（a≠0，a∈R），
得：h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2+ax，
当a=1时，h（x）=lnx-x2+x．
h′(x)=-2x+1=-．
∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）有极大值h（1）=0，无极小值；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2+ax，
则h′(x)=-a(2x-1)．
∵函数y=h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h′(x)=-a(2x-1)≥0对x＞1恒成立．
即a≤==对x＞1恒成立．
∵x＞1时，2x2-x＞1，∴＞0，又a≠0，∴a＜0．
则a的取值范围是（-∞，0）．
（Ⅲ）假设存在，不妨设0＜x1＜x2，
k===，
f′(x0)==，
由k=f′（x0）⇒=，
∴ln==．
令t=，u（t）=lnt- （0＜t＜1），则u′(t)=＞0，
∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt＜，即ln＜．
故k≠f′（x0）．
所以不存在符合题意的两点． |
核心考点
试题【已知函数f（x）=lnx，g（x）=a（x2-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）（Ⅰ）若a=1，求函数h（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h （x】；主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 函数y=-x3+3x2+3的单调增区间是______． |
设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f"（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围． |
| 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，+=，对于有穷数列=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（ ） |
已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=x2+x+lnx，f2(x)=x2+2ax，a∈R
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个． |
已知f（x）=x3-ax2-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值． |
