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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x+x3,x∈R.
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)若a,b∈R,且a+b>0,试比较f(a)+f(b)与0的大小.
答案
(1)函数f(x)=x+x3,x∈R是增函数,证明如下:
因为f′(x)=1+3x2>0恒成立,
所以函数f(x)=x+x3,x∈R是增函数.
(2)由a+b>0,得a>-b,由(1)知f(a)>f(-b),
因为f(x)的定义域为R,定义域关于坐标原点对称,
又f(-x)=(-x)+(-x)3=-x-x3=-(x+x3)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
于是有f(-b)=-f(b),
所以f(a)>-f(b),从而f(a)+f(b)>0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+x3,x∈R.(1)判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;(2)若a,b∈R,且a+b>0,试比较f(a)+f(b)与0的大小.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,f(x)=





(x2-2ax)ex,x>0
bx,x≤0
,g(x)=clnx+b
,且x=


2
是函数y=f(x)的极值点.
(1)若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(2)若直线L是函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线,且直线L与函数Y=G(X)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],求实数b的取值范围.
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函数y=
lnx
x
的最大值为(  )
A.e-1B.eC.e2D.
10
3
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设函数y=f(x)(x∈R)是可导的函数,若满足(x-2)f′(x)≥0,则必有(  )
A.f(1)+f(3)≥2f(2)B.f(1)+f(3)≤2f(2)C.f(1)+f(3)<2f(2)D.f(1)+f(3)>2f(2)
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设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,有(  )
A.f(x)g(b)>f(b)g(x)B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
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函数y=3x-x3的单调递增区间是(  )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(0,+∞)D.(1,+∞)
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