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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数,f(x)=





(x2-2ax)ex,x>0
bx,x≤0
,g(x)=clnx+b
,且x=


2
是函数y=f(x)的极值点.
(1)若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(2)若直线L是函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线,且直线L与函数Y=G(X)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],求实数b的取值范围.
答案
(1)x>0时,f(x)=(x2-2ax)ex
∴f"(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex
由已知,f′(


2
)=0,∴[2+2


2
(1-a)-2a]e


2
=0,
∴2+2


2
-2a-2


2
a=0,∴a=1,
∴x>0时,f(x)=(x2-2x)ex
∴f"(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex
令f"(x)=0得x=


2
(x=-


2
舍去)
当x>0时,

魔方格

∴当 x∈(0,


2
)时,f(x)单调递减,当 x∈(


2
,+∞),f(x)单调递增,
∴x>0时,f(x)∈((2-2


2
e


2
,+∞)
要使方程f(x)-m=0有两不相等的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.
①当b>0时,m=0或 m=(2-2


2
e


2

②当b=0时,m∈((2-2


2
e


2
,0);
③当b<0时,m∈((2-2


2
e


2
,+∞)
(2)x>0时,f(x)=(x2-2x)ex,f"(x)=(x2-2)ex,∴f(2)=0,f"(2)=2e2
函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为:y=2e2(x-2),
∵直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],∴y0=clnx0+b,g′(x)=
c
x

∴切线l的斜率为 g′(x0)=
c
x0

∴切线l的方程为:y-y0=
c
x0
(x-x0),即y=
c
x0
x-c+b+clnx0





c
x0
=2e2
-c+b+clnx0=-4e2
,∴





c=2e2x0
b=c-clnx0-4e2

∴b=2e2(x0-x0lnx0-2),其中x0∈[e-1,e]
记h(x0)=2e2(x0-x0lnx0-2),其中x0∈[e-1,e],h"(x0)=-2e2lnx0
令h"(x0)=0,得x0=1.

魔方格

又h(e)=-4e2,h(e-1)=4e-4e2>-4e2
∵x0∈[e-1,e],∴h(x0)∈[-4e2,-2e2],
∴实数b的取值范围为:{b|-4e2≤b≤-2e2}.
核心考点
试题【已知函数,f(x)=(x2-2ax)ex,x>0bx,x≤0,g(x)=clnx+b,且x=2是函数y=f(x)的极值点.(1)若方程f(x)-m=0有两个不相】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数y=
lnx
x
的最大值为(  )
A.e-1B.eC.e2D.
10
3
题型:不详难度:| 查看答案
设函数y=f(x)(x∈R)是可导的函数,若满足(x-2)f′(x)≥0,则必有(  )
A.f(1)+f(3)≥2f(2)B.f(1)+f(3)≤2f(2)C.f(1)+f(3)<2f(2)D.f(1)+f(3)>2f(2)
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时,有(  )
A.f(x)g(b)>f(b)g(x)B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
题型:丰台区二模难度:| 查看答案
函数y=3x-x3的单调递增区间是(  )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(0,+∞)D.(1,+∞)
题型:不详难度:| 查看答案
设函数y=f(x)(x∈R)的导函数为f′(x),且f′(x)<f(x),则下列成立的是(  )
A.e-2f(2)<ef(-1)<f(0)B.ef(-1)<f(0)<e-2f(2)
C.ef(-1)<e-2f(2)<f(0)D.e-2f(2)<f(0)<ef(-1)
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