函数f(x)=x-alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

函数f(x)=x-

alnx

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；
（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围；
（3）若对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，求m的最小值．

答案

（1）证明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函数y=f（x）图象恒过定点（1，1）． …（2分）
（2）当a=1时，f(x)=x-

lnx

，
∴f′(x)=1-

1-lnx

，即f′(x)=

x2+lnx-1

，
令f"（x）=0，得x=1．

解析

核心考点

试题【函数f(x)=x-alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

（0，1）

（1，+∞）

f"（x）

f（x）

极小值

（0，

）

（

，+∞）

h"（x）

h（x）

↘

极小值

↗

设f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）在区间（

，+∞）上的极值点个数．

函数f（x）=lnx+

（a为常数，a＞0）．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

函数y=xcosx-sinx，x∈（0，2π）单调增区间是______．

函数y=

+2lnx的单调减区间为______．

已知函数f(x)=lnx-

ax2(a∈R，a≠0)．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点A(1，-

a)，设B(x1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x₀，y₀）满足：①x0=

1+x1

；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．