题目

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范围．

答案

（1）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f"（x）=0的根，又∵f"（x）=3x²+2bx+c，∴f"（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f"（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴

α+β+2=-b αβ=- d 2

；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3