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题目
题型:不详难度:来源:
已知f(x)=x3+bx+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.
(1)求c的值;
(2)求证f(1)≥2;
(3)求|α-β|的取值范围.
答案
(1)∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,2]上是减函数;
∴x=0是f"(x)=0的根,又∵f"(x)=3x2+2bx+c,∴f"(0)=0,∴c=0.
(2)∵f(x)=0的根为α,2,β,
∴f(2)=0,∴8+4b+d=0,又∵f"(2)≤0,
∴12+4b≤0,∴b≤-3,又d=-8-4b
∴d≥4
f(1)=1+b+d,f(2)=0
∴d=-8-4b且b≤-3,
∴f(1)=1+b-8-4b=-7-3b≥2
(3)∵f(x)=0有三根α,2,β;
∴f(x)=(x-α)(x-2)(x-β)
=x3-(α+β+2)•x2-2αβ





α+β+2=-b
αβ=-
d
2

∴|β-α|2=(α+β)2-4αβ
=(b+2)2+2d
=b2+4b+4-16-8b
=b2-4b-12
=(b-2)2-16
又∵b≤-3,∴|β-α|≥3
核心考点
试题【已知f(x)=x3+bx+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.(1)求c的值;(2)求证】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=ex-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值.
题型:黑龙江难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-
2
3
时,都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若f(-1)=
3
2
,求f(x)的单调区间和极值;
(3)若对x∈[-1,2]都有f(x)<
3
c
恒成立,求c的取值范围.
题型:东营一模难度:| 查看答案
函数f(x)=(1-x)•ex的单调递增区间是______.
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设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=x2+2x+alnx.
(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
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