（Ⅰ）由题意f（x）=

x

x2+b

，故f′（x）=

x2+b-x•2x

(x2+b)2

=

b-x2

(x2+b)2

…（2分）
依题意，由f′（-1）=

b-1

(1+b)2

=0，得b=1．…（4分）
经检验，b=1符合题意．…（5分）
（Ⅱ）①当b=0时，f（x）=

1

x

．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（0，+∞）；无单调增区间． …（6分）
②当b＞0时，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．令f′（x）=0，得x₁=-

b

，x₂=

b

…（8分）
故f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘
已知函数f(x)=lnx+ 2a x ， a∈R． （1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．
已知函数f（x）=2lnx-x2（x＞0），求函数f（x）的单调区间与最值．
已知函数f（x）=lnx+ 1 x -1 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma-（xo）＜0成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）证明：ln2l+1n22+…+ln2n＞ (n-1)4 4n3 (n≥2，n∈N*)．
设函数f（x）=lnx-2ax． （1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值； （2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
函数f（x）=2x2-lnx的单调递减区间是______．