已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（I）若x=-13是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；（II）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（I）若x=-

是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；
（II）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

答案

（I）依题意，求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

是f(x)的极值点
∴f′（-

）=0，∴

a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，解得x₁=-

，x₂=3，
∴函数在（1，3）上单调减，（3，4）上单调增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则

△=16+4(b+3)＞0

-3-b≠0

，即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

核心考点

试题【已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（I）若x=-13是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；（II）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)=ax-

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′(

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2；
②若a₁=4，试比较

1+a1

1+a2

+…+

1+an

与

的大小，并说明你的理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+

，（其中a＞0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f（x₁）≤g（x₂），求实数a的取值范围．

题型：顺义区一模难度：| 查看答案

已知函数f(x)=aln(x-a)-

x2+x(a＜0)．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x₀，且a+1＜x₀＜a+2；
（III）当a=-

时，记函数f（x）的零点为x₀，若对任意x₁，x₂∈[0，x₀]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，ln

=0.8，ln

=0.59）

题型：海淀区二模难度：| 查看答案

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

，g(x)=

(2-x)ex

．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）．

题型：长春二模难度：| 查看答案

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