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题目
题型:宝鸡模拟难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围.
答案
(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x
(2)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4
(3)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),切线的斜率为3(
x20
-1)=
x30
-3
x 0
-m
x 0
-1
(左边用导数求出,右边用斜率的两点式求出),
整理得2x03-3x02+m+3=0.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,故此方程有三个不同解,下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g(x0)=2x03-3x02+m+3,则g′(x0)=6x02-6x0
由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1
∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是





g(0)>0
g(1)<0
,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知a>0,函数f(x)=
x2
2
+2a(a+1)lnx-(3a+1)x

(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y-3x=0平行,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)在(1)的条件下,若对任意x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0恒成立,求实数b的取值组成的集合.
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定义函数F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).
(1)令函数f(x)=F[1,log2(x3-3x)]的图象为曲线C1求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C1的切线方程;
(2)令函数g(x)=F[1,log2(x3+ax2+bx+1)]的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(x0∈(1,4))处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;
(3)当x,y∈N*,且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).
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若函数f(x)=ax3+blog2(x+


x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上
(  )
A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值3D.有最大值9
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已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是(  )
A.0B.1C.2D.3
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若函数f(x)=ax3-3x在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.a<1B.a≤1C.0<a<1D.0<a≤1
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