题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
2 |
(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y-3x=0平行,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)在(1)的条件下,若对任意x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0恒成立,求实数b的取值组成的集合.
答案
2a(a+1) |
x |
由已知f"(1)=3,即2a2-a=3,2a2-a-3=0,
解得a=
3 |
2 |
又因为a>0,所以a=
3 |
2 |
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),…(4分)
f′(x)=x+
2a(a+1) |
x |
x2-(3a+1)x+2a(a+1) |
x |
(x-2a)[x-(a+1)] |
x |
①当2a>a+1,即a>1时,
由f"(x)>0得x>2a或0<x<a+1,
因此函数f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞).
②当2a<a+1,即0<a<1时,
由f"(x)>0得x>a+1或0<x<2a,
因此函数f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞).
③当2a=a+1,即a=1时f"(x)≥0恒成立(只在x=2a处等于0),
所以函数在定义域(0,+∞)上是增函数.…(7分)
综上:①当a>1时,函数f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞);
②当0<a<1时,函数f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞);
③当a=1时,函数f(x)的单调增区间是(0,+∞).…(8分)
(3)当a=
3 |
2 |
x2 |
2 |
15 |
2 |
11x |
2 |
由(2)知该函数在(0,
5 |
2 |
因此在区间[1,2]上f(x)的最小值只能在x=1处取到.…(10分)
又f(1)=
1 |
2 |
11 |
2 |
若要保证对任意x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0恒成立,
应该有-5≥b2+6b,即b2+6b+5≤0,解得-5≤b≤-1,
因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}.…(12分)
核心考点
试题【已知a>0,函数f(x)=x22+2a(a+1)lnx-(3a+1)x.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y-3x=0平行,求a的值;(2)求函数f(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)令函数f(x)=F[1,log2(x3-3x)]的图象为曲线C1求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C1的切线方程;
(2)令函数g(x)=F[1,log2(x3+ax2+bx+1)]的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(x0∈(1,4))处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;
(3)当x,y∈N*,且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).
x2+1 |
( )
A.有最大值5 | B.有最小值5 | C.有最大值3 | D.有最大值9 |
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
A.a<1 | B.a≤1 | C.0<a<1 | D.0<a≤1 |
x | 2 |
e | 3-x |
①求a与b的关系式(用a表示b);
②求f(x)的单调区间;
③设a>0,g(x)=(
a | 2 |
25 |
4 |
e | x |
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