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题目
题型:陕西难度:来源:
设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.
(Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域;
(Ⅲ)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
a
3
)(x+a)
,又a>0,
∴当x<-a或x>
a
3
时,f"(x)>0;
-a<x<
a
3
时,f"(x)<0,
∴f(x)在(-∞,-a)和(
a
3
,+∞)
内是增函数,在(-a,
a
3
)
内是减函数.
(Ⅱ)由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1,
即x[x2-(a2-2)]=0恰有一根(含重根).∴a2-2≤0,即-


2
≤a≤


2

又a≠0,∴a∈[-


2
,0)∪(0,


2
]

当a>0时,g(x)才存在最小值,∴a∈(0,


2
]

g(x)=a(x-
1
a
2+1-
1
a

h(a)=1-
1
a
,a∈(0,


2
]

h(a)≤1-


2
2

∴h(a)的值域为(-∞,1-


2
2
]

(Ⅲ)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和(
a
3
,+∞)
内是增函数,g(x)在(
1
a
,+∞)
内是增函数.
由题意得





a>0
a≥
a
3
a≥
1
a
,解得a≥1;
当a<0时,f(x)在(-∞,
a
3
)
和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在(-∞,
1
a
)
内是增函数.
由题意得





a<0
a+2≤
a
3
a+2≤
1
a
,解得a≤-3;
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
核心考点
试题【设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.(Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(历史方向考生做)函数f(x)=sinx-cosx-tx在[0,
π
2
]
上单调递增,则实数t的取值范围是______.
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若函数f(x)=x2+ax在x∈[1,3]是单调递减函数,则实数a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=x2-mx-lnx,m∈R
(1)若m=2,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若m≥1,函数在f(x)在x=x0处取得极值,求证:1≤x0≤m.
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
a
x
,(a∈R).
(1)当a=2时,求函数p(x)=f(x)+g(x)的单调区间;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,e]上的最小值为3,求a的值;
(3)若存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)>x02+g(x0)能成立,求a的取值范围.
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给出下列命题:
①质点的位移函数S(t)对时间t的导数就是质点的加速度函数;
②对于函数f(x)=2x2+1图象上的两点P(1,3)和Q(1+△x,3+△y),有
△y
△x
=4+2△x

③若质点的位移S(t)与时间t的关系为S(t)=kt+b,则质点的平均速度与任意时刻的瞬时速度相等;
④“f"(x0)=0”是“函数y=f(x)在x=x0时取得极值”的充要条件.
其中,真命题的序号为______.
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