题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2）．
（1）试确定t的范围，使得函数f（x）在区间[-2，t]上为增函数；
（2）求证：f（t）＞f（-2）；
（3）求证：对任意t＞-2，总有x₀∈（-2，t）满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并确定这样的x₀的个数．

答案

（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x2-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∵函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，
∴-2＜t≤0，
（2）证：因为函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（-2）=13e-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），
（3）证：因为

f′(x0)

ex0

=x₀²-x₀，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即为x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
从而问题转化为证明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t-4)(t+2)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意