题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若k<0,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若k=2,当x∈(0,+∞)时,试比较f(x)与2的大小;
(Ⅲ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求k的取值范围,并证明0<f(x1)<1.
答案
当k<0时,由于x∈(0,+∞),f′(x)=kex-2x<0,
故函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(Ⅱ)当k=2时,f(x)=2ex-x2,则f′(x)=2ex-2x,
令h(x)=2ex-2x,h′(x)=2ex-2,
由于x∈(0,+∞),故h′(x)=2ex-2>0,
于是h(x)=2ex-2x在(0,+∞)为增函数,
所以h(x)=2ex-2x>h(0)=2>0,即f′(x)=2ex-2x>0在(0,+∞)恒成立,
从而f(x)=2ex-x2在(0,+∞)为增函数,
故f(x)=2ex-x2>f(0)=2.
(Ⅲ)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是f′(x)=kex-2x=0的两个根,
即方程k=
2x |
ex |
2x |
ex |
2-2x |
ex |
当x<0时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)<0;
当0<x<1时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)>0;
当x>1时,φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.
要使k=
2x |
ex |
2 |
e |
故实数k的取值范围是(0,
2 |
e |
又由上可知函数f(x)的两个极值点x1,x2满足0<x1<1<x2,
由f′(x1)=kex1-2x1=0,得k=
2x1 |
ex1 |
∴f(x1)=kex1-
x | 21 |
2x1 |
ex1 |
x | 21 |
x | 21 |
由于x1∈(0,1),故0<-(x1-1)2+1<1,
所以0<f(x1)<1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=kex-x2(其中k∈R,e是自然对数的底数).(Ⅰ)若k<0,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(Ⅱ)若k=2,当x∈(0,+】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,且f(g(x))<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
(1)若关于x的不等式1+lnx>g(x)的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),求b-a的值;
(2)求f(x)=g(x)-bx的单调区间;
(3)若a=b=1,y=g(x)的图象上是否存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2),(其中x1≥e2x2)使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横坐标)处的切线的斜率?
(1)试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x-4)在闭区间[-2,2]上的“绝对和”.
(2)设hm(x)=-4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1,3]上,记hm(x)与f(x)的“绝对和”为Dm,如果D(m)的最小值是D(m0),则称f(x)可用hm0(x)“替代”,试求m0的值,使f(x)可用hm0(x)“替代”.
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