已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a．（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

答案

（I）f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因为在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．
故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，
即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7．

核心考点

试题【已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a．（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=e^x-1-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试探究函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

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已知函数g（x）=lnx+ax²+bx．（a，b∈R）
（1）若关于x的不等式1+lnx＞g（x）的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求b-a的值；
（2）求f（x）=g（x）-bx的单调区间；
（3）若a=b=1，y=g（x）的图象上是否存在两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（其中x₁≥e²x₂）使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C（点C的横坐标等于PQ中点的横坐标）处的切线的斜率？

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定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²的最小值是______．

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定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x²与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定义在闭区间[1，3]上，记h_m（x）与f（x）的“绝对和”为D_m，如果D（m）的最小值是D（m₀），则称f（x）可用hm0(x)“替代”，试求m₀的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”．

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f（x），g（x）都是定义在R上的单调递增函数，f（x）＞0，g（x）＜0，则

f(x)

g(x)

（　　）

A．大于0，单调递增	B．小于0，单调递减
C．小于0，单调递增	D．小于0，单调性无法确定

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