题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
设函数f(x)=x³＋ax²＋bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4)．
（Ⅰ）求f(x)=x³＋ax²＋bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）设存在两个不等正数s,t(s<t),当x∈[s,t]时,函数f(x)=x³＋ax²＋bx的值域是[ks,kt]，求正数k的取值范围。

答案

（Ⅰ）f′(x)=3x²＋2ax＋b.依题意则有：
所以解得所以f(x)=x³－6x²＋9x；
f′(x)=3x²－12x＋9=3(x－1)(x－3),由f′(x)=0可得x=1或x=3.
f′(x),f(x)在区间(0,4]上的变化情况为：
 

x	0	(0,1)	1	(1,3)	3	(3,4)	4
f′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	0	增函数	4	减函数	0	增函数	4

 
所以函数f(x)=x³－6x²＋9x在区间[0,4]上的最大值是4,最小值是0.
（2）由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点(3,0)不在区间[s,t]上；
①若极值点M(1,4)在区间[s,t]上,此时0<s≤1≤t<3,
故有(i)或(ii)
(i)由k=,1≤t<3知,k∈,当且仅当t=1时,k=4；
再由k=(s－3)^2,0<s≤1知,k∈[4,9),当且仅当s=1时,k=4.
由于s≠t,故不存在满足要求的k值．
(ii)由s=f(t)=f(t)=,及0<s≤1可解得2≤t<3,
所以k=,2≤t<3知,k∈；
即当k∈时,存在t=∈[2,3),s=f(t)=∈(0,1],且f(s)≥4s=f(t)>f(t),满足要求．
②若函数f(x)在区间[s,t]上单调递增, 则0<s<t≤1或3<s<t,
且,故s,t是方程x²－6x＋9=k的两根,
由于此方程两根之和为3,故[s,t]不可能同在一个单调增区间内；
③若函数f(x)在区间[s,t]上单调递减,则1<s<t<3,,　
两式相减并整理得s²(s－3)³=t²(t－3)²,由1<s<t<3知s(s－3)=t(t－3),即s＋t=3,
再将两式相减并除以s－t得
－k=(s²＋st＋t²)－6(s＋t)＋9=(s＋t)²－6(s＋t)＋9－st=－st,
即k=st,所以s,t是方程x²－3x＋k=0的两根,
令g(x)=x²－3x＋k,
则解得2<k<,即存在s=,t=满足要求．
综上可得，当<k<时,存在两个不等正数s,t(s<t),使x∈[s,t]时,
函数f(x)=x³－6x²＋9x的值域恰好是[ks,kt]．

解析

略