题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).
(Ⅰ)求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0,4]上的最大值与
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(Ⅱ)设存在两个不等正数s,t(s<t),当x∈[s,t]时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[ks,kt],求正数k的取值范围。
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+b.依题意则有:
所以解得所以f(x)=x3-6x2+9x;
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由f′(x)=0可得x=1或x=3.
f′(x),f(x)在区间(0,4]上的变化情况为:
x | 0 | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,4) | 4 |
f′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 0 | 增函数 | 4 | 减函数 | 0 | 增函数 | 4 |
所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间[0,4]上的最大值是4,最小值是0.
(2)由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点(3,0)不在区间[s,t]上;
①若极值点M(1,4)在区间[s,t]上,此时0<s≤1≤t<3,
故有(i)
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(i)由k=,1≤t<3知,k∈,当且仅当t=1时,k=4;
再由k=(s-3)2,0<s≤1知,k∈[4,9),当且仅当s
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由于s≠t,故不存在满足要求的k值.
(ii)由s=f(t)=f(t)=
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所以k=,2≤t<3知,k∈;
即当k∈时,存在t=∈[2,3),s=f(t)=
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②若函数f(x)在区间[s,t]上单调递增, 则0<s<t≤1或3<s<t,
且
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由于此方程两根之和为3,故[s,t]不可能同在一个单调增区间内;
③若函数f(x)在区间[s,t]上单调递减,则1<s<t<3
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两式相减并整理得s2(s-3)3=t2(t-3)2,由1<s<t<3知s(s-3)=t(t-3),即s+t=3,
再将两式相减并除以s-t得
-k=(s2+st+t2)-6(s+t)+9=(s+t)2-6(s+t)+9-st=-st,
即k=st,所以s,t是方程x2-3x+k=0的两根,
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令g(x)=x2-3x+k,
则
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综上可得,当<k<时,存在两个不等正数s,t(s<t),使x∈[s,t]时,
函数f(x)=x3-6x2+9x的值域恰好是[ks,kt].
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).(Ⅰ)求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0,4]】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数
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(1) 试确定
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(2) 若函数
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A
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