题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)求的极值点;
(3)证明对任意的正整数,不等式都成立。
答案
解析
(1)利用函数的导数得到导数符号与单调性的关系的运用。
(2)在第一问的基础上分析得到极值点。
(3)对于不等式恒成立的证明,主要是转化为函数的最值问题来处理的数学思想的运用。
解:(1)由题意知,,),
设,其图象的对称轴为,,
所以
即,上恒成立,
,时,,
,上单调递增。
(2)①由(1)得,函数无极值点;
②时, 有两个相同的解,
,,;,时,,
,上无极值;
③时,:
,
,,,
:
, | , | ||
- | 0 | + | |
减 | 极小值 | 增 |
当时,,所以,,
此时,:
, | (,) | , | |||
+ | 0 | - | 0 | + | |
增 | 极大植 | 减 | 极小值 | 增 |
极小值点
综上所述,:,有唯一极小值点; 时,有一个极大值点和一个极小值点;,无极值点。
(3)设,1〕,则不等式化为,
即
设函数,则
所以,当时,函数在〔0,1〕上单调递增,又
,1〕时,恒有,即,
因此不等式成立
核心考点
举一反三
(I) 若,求的单调区间;
(II) 已知是的两个不同的极值点,且,若恒成立,求实数b的取值范围.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设.如果对任意,,求的取值范围.
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为R上的单调函数,求a的取值范围。
(1)当时,求函数的图像在处的切线方程;
(2)若存在,使得,求的最大值;
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