题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求函数
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(2)已知函数
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答案
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解析
(1)根据已知函数求解导数,结合导数的 符号与单调性的关系得到单调区间。
(2)构造函数由题意可知g(x)=f(2-x),
得g(x)=(2-x)ex-2.
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2.
于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x.
当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0.
又e-x>0,
结合单调性得到结论。
解:(1)f′(x)=(1-x)e-x.令f′(x)=0,
解得x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
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所以f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=
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(2)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),
得g(x)=(2-x)ex-2.
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2.
于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x.
当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1>0.
又e-x>0,
所以F′(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)上是增函数.
又F(1)=e-1-e-1=0,
所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,
因此,当x>1时,f(x)>g(x).
核心考点
举一反三
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(Ⅰ)讨论函数
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(Ⅱ)设
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(Ⅰ)当
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(Ⅱ)若
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(1)当
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(2)若存在
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(Ⅰ)若
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(Ⅱ)若
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(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(6分)
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.(6分)
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