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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
已知函数
(1)判断的单调性并证明;
(2)若满足,试确定的取值范围。
(3)若函数对任意时,恒成立,求的取值范围。
答案
解:(1)上为增函数。(2)
(3)在上为增函数,所以最小值为。所以
解析
本试题主要是考查了函数的最值,和单调性的综合运用,以及不等式的恒成立的问题的综合运用。
(1)利用定义法设出变量,然后代入函数解析式得到差值,然后变形定号,下结论得到。
(2)在第一问的基础上得到不等式的求解。
(3)要证明不等式恒成立,构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。
解:(1)由题得:,设

 ,又,得
,即上为增函数。
(2)由(1)得:上为增函数,要满足
只要,得
(3),由得:,即  ①,那么①式可转化为所以题目等价于上恒成立。即大于函数上的最大值。即求上的最小值。令,由(1)得
上为增函数,所以最小值为。所以
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数(1)判断的单调性并证明;(2)若满足,试确定的取值范围。(3)若函数对任意时,恒成立,求的取值范围。】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分14分)(注意:仙中、一中、八中的学生三问全做,其他学校的学生只做前两问)
已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:
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(本题满分14分)
设函数
⑴当且函数在其定义域上为增函数时,求的取值范围;
⑵若函数处取得极值,试用表示
⑶在⑵的条件下,讨论函数的单调性。
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已知函数,则实数的取值范围是     
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(本小题满分14分) 已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)求证:(其中,e是自然对数的底数).
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(本小题满分14分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)
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