题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知函数
（1）判断的单调性并证明；
（2）若满足，试确定的取值范围。
（3）若函数对任意时，恒成立，求的取值范围。

答案

解：（1）在上为增函数。（2）
（3）在上为增函数，所以最小值为。所以。

解析

本试题主要是考查了函数的最值，和单调性的综合运用，以及不等式的恒成立的问题的综合运用。
（1）利用定义法设出变量，然后代入函数解析式得到差值，然后变形定号，下结论得到。
（2）在第一问的基础上得到不等式的求解。
（3）要证明不等式恒成立，构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。
解：（1）由题得：，设，
则
 ，又，得
，即在上为增函数。
（2）由（1）得：在上为增函数，要满足
只要，得
（3），由得：，即  ①，那么①式可转化为所以题目等价于在上恒成立。即大于函数在上的最大值。即求在上的最小值。令，由（1）得
在上为增函数，所以最小值为。所以。