题目
题型:天门模拟难度:来源:
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若方程f (x)=
1 |
4 |
(Ⅲ)设常数p≥1,数列{an}满足an+1=an+ln(p-an)(n∈N*),a1=lnp,求证:an+1≥an.
答案
1 |
1+x |
∴f′(1)=
1 |
2 |
由题知
1 |
2 |
1 |
2 |
解得a=1.(3分)
(II)由(I)有f(x)=ln(1+x)-x,
∴原方程可整理为4ln(1+x)-x=m.
令g(x)=4ln(1+x)-x,得g′(x)=
4 |
1+x |
3-x |
1+x |
∴当3<x≤4时g"(x)<0,当2≤x<3时g"(x)>0,g"(3)=0,
即g(x)在[2,3]上是增函数,在[3,4]上是减函数,
∴在x=3时g(x)有最大值4ln4-3.(6分)
∵g(2)=4ln3-2,g(4)=4ln5-4,
∴g(2)-g(4)=4ln
3 |
5 |
3 |
5 |
9e |
25 |
由9e≈24.46<25,于是2ln
9e |
25 |
∴g(2)<g(4).
∴m的取值范围为[4ln5-4,4ln4-3).(9分)
(III)由f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)有f′(x)=
1 |
1+x |
x |
1+x |
显然f"(0)=0,当x∈(0,+∞)时,f"(x)<0,当x∈(-1,0)时,f"(x)>0,
∴f(x)在(-1,0)上是增函数,在[0,+∞)上是减函数.
∴f(x)在(-1,+∞)上有最大值f(0),而f(0)=0,
∴当x∈(-1,+∞)时,f(x)≤0,因此ln(1+x)≤x.(*)(11分)
由已知有p>an,即p-an>0,所以p-an-1>-1.
∵an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an),
∴由(*)中结论可得an+1-an≤p-1-an,即an+1≤p-1(n∈N*).
∴当n≥2时,an+1-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0,即an+1≥an.
当n=1,a2=a1+ln(p-lnp),
∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1,
∴a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1,结论成立.
∴对n∈N*,an+1≥an.(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若方程f (x)=14(m-3x)在[2,4]】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
(1)当m=1时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
A.y=4x | B.y=4x-8 | C.y=2x+2 | D.y=-
|
A.[-1,0] | B.[
| ||||||
C.[1,
| D.(-∞,
|
A.2 | B.0 | C.-2 | D.-4 |
A.Cn2 | B.Cn+12 | C.An2 | D.An+12 |
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