题目
题型:不详难度:来源:
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2 |
(1)求f′(x)的最小值;
(2)证明:对任意的x1,x2∈[0,+∞)和实数λ1≥0,λ2≥0且λ1+λ2=1,总有f(λ1x1+λ2x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2);
(3)若x1,x2,x3满足:x1≥0,x2≥0,x3≥0且x1+x2+x3=3,求f(x1)+f(x2)+f(x3)的最小值.
答案
当x∈(-∞,0)时,f""(x)=ex-1<0,即f′(x)在区间(-∞,0)上为减函数;
当x∈[0,+∞)时,f""(x)=ex-1≥0,即f′(x)在区间[0,+∞)上为增函数;
于是f′(x)的最小值为f′(0)=1.
(2)证明:不妨设x1≤x2,构造函数K(x)=f(λ1x+λ2x2)-λ1f(x)-λ2f(x2)(x∈[0,x2]),
则有K(x2)=f(λ1x2+λ2x2)-λ1f(x2)-λ2f(x2)=0,
则K′(x)=λ1f′(λ1x+λ2x2)-λ1f′(x)=λ1(f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)),
而λ1x+λ2x2-x=(λ1-1)x+λ2x2=λ2(x2-x)≥0,所以λ1x+λ2x2≥x,
由(1)知f′(x)在区间[0,+∞)上为增函数,
所以f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)≥0,即K′(x)≥0,
所以K(x)在[0,x2]上单调递增,
所以K(x)≤K(x2)=0,即f(λ1x1+λ2x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2).
(3)先证对任意的x1,x2,x3∈[0,+∞)和实数λ1≥0,λ2≥0,λ3≥0,且λ1+λ2+λ3=1,
总有f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+λ3f(x3),f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)=f((λ1+
λ | 2 |
λ1 |
λ1+λ2 |
λ2 |
λ1+λ2 |
λ1 |
λ1+λ2 |
λ2 |
λ1+λ2 |
λ1 |
λ1+λ2 |
λ2 |
λ1+λ2 |
=λ1f(x1)+λ2f(x2)+λ3f(x3),
令λ1=λ2=λ3=
1 |
3 |
x1+x2+x3 |
3 |
1 |
3 |
当x1≥0,x2≥0,x3≥0且x1+x2+x3=3时,有f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f(
x1+x2+x3 |
3 |
3 |
2 |
所以f(x1)+f(x2)+f(x3)的最小值为3e-
3 |
2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-12x2,其导函数为f′(x).(1)求f′(x)的最小值;(2)证明:对任意的x1,x2∈[0,+∞)和实数λ1≥0,λ2≥0且λ1+】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-1 | B.-2 | C.1 | D.2 |
π |
3 |
A.a=2,b=3 | B.a=2,b=2 | C.a=2,b=4 | D.a=1,b=4 |
1 |
3 |
A.3 | B.-6 | C.2 | D.
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(Ⅰ)已知函数f(x)=
ln(2x+1) |
x |
(Ⅱ)求
∫ |
|
x |
2 |
(Ⅲ)已知
. |
z |
. |
z |
z | ||
|
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