题目

题型：中山一模难度：来源：

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f"（1）．

答案

（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，
两式相减，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，从而a_n+1+1=2（a_n+1）．
当n=1时，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
从而a₂+1=2（a₁+1）．故总有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，从而

an+1+1

an+1

=2．
即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f"（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
从而f"（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-

n(n+1)

2

=3[n×2n+1-2n+1+2]-

n(n+1)

2

=3(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+6．