题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数(为自然对数的底数).
答案
. 又,
∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:.
设 ,则,
且仅当,所以,在上是增函数,故.
所以,,即. …………………………5分
(2)因为,所以.
因为当时,,当时,.
又,所以在上是减函数,在
上是增函数.所以, …9分
(3)下面讨论函数的零点情况.
①当,即时,函数在上无零点;
②)当,即时,,则
而,∴在上有一个零点;
③当,即时, ,
由于,,
,
所以,函数在上有两个零点. ……………………………………13分
综上所述,在上,我们有结论:当时,函数无零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点. ………………………………14分
解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数的定义域为,
. ………5分
∴当时,,当时,.
在上是减函数,在上是增函数.
……………………6分
设(,常数.
∴当时,
且仅当时,在上是增函数.
∴当时,,∴当时,
取,得由此得. …………9分
取得由此得.
…10分
(1)当,即时,函数无零点; ………………………11分
(2)当,即时,,则 而,
∴函数有一个零点; …12分
(3)当即时.而,
∴函数有两个零点. …13分 综上所述,当时,函数无零点,当
时,函数有一个零点,当时,函数有两个零点. …14分
解析
核心考点
举一反三
(1)若的极值点,求a的值;
(2)若时,函数的图象恒不在的图象下方,求实数a的取值范围。
(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)- [h(x)],求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设,解关于x的方程;
(Ⅲ)设,证明:.
A.增函数 |
B.减函数 |
C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 |
D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 |
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有
|f(x1)-f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若在是单调函数,求实数的取值范围.
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