题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意?若存在,求的所有值;若不存在,说明理由。
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)由已知条件得f¢(x0)=0得到关于x0的关系式,再求出f(x0);(Ⅱ)将原不等式转化为x2(lnx-a)+a≥0,考察关于x的函数g(x)=x2(lnx-a)+a的单调性,求出最小值g=a-e2a-1,再研究关于a的函数h(a)=a-e2a-1,当a取哪些值时h(a)≥0.
试题解析:(Ⅰ)f¢(x)=.
依题意,lnx0+x0+1=0,则lnx0=-(x0+1).
f(x0)===-x0.
(Ⅱ)f(x)≥等价于x2(lnx-a)+a≥0.
设g(x)=x2(lnx-a)+a,则g¢(x)=x(2lnx-2a+1).
令g¢(x)=0,得x=.
当x∈时,g¢(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈时,g¢(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)≥g=a-e2a-1.
于是f(x)≥恒成立只需a-e2a-1≥0.
设h(a)=a-e2a-1,则h=0,
且h¢(a)=1-e2a-1,h¢=0.
当a∈(0,)时,h¢(a)>0,h(a)单调递增,h(a)<h=0;
当a∈(,+∞)时,h¢(a)<0,g(x)单调递减,h(a)<h=0.
因此,a-e2a-1≤0,当且仅当a=时取等号.
综上,存在唯一的实数a=,使得对任意x∈(0,+∞),f(x)≥.
核心考点
举一反三
A.在上恰有一个零点 | B.在上恰有两个零点 |
C.在上恰有一个零点 | D.在上恰有两个零点 |
(Ⅰ)当时,求函数的单调增区间;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
(Ⅰ)若的极大值等于,求的极小值;
(Ⅱ)设不等式的解集为集合,当时,函数只有一个零点,求实数的取值范围.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设点,当时,直线的斜率恒小于,试求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
(Ⅰ)若在(0,)单调递减,求a的最小值
(Ⅱ)若有两个极值点,求a的取值范围.
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