题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若在(0,)单调递减,求a的最小值
(Ⅱ)若有两个极值点,求a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)将“f(x)在(0,)单调递减”转化为“"x∈(0,+∞),a≥”,然后才有构造函数的思想求解函数的最大值即可;(Ⅱ)通过对参数a 与1的讨论,借助求导的方法研究函数的单调性,进而分析保证有两个极值点的条件,通过解不等式求解求a的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)f¢(x)=lnx+1-ax.
f(x)单调递减当且仅当f¢(x)≤0,即"x∈(0,+∞),
a≥. ①
设g(x)=,则g¢(x)=-.
当x∈(0,1)时,g¢(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g¢(x)<0,g(x)单调递减.
所以g(x)≤g(1)=1,故a的最小值为1. 5分
(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当a≥1时,f(x)没有极值点.
(2)当a≤0时,f¢(x)单调递增,f¢(x)至多有一个零点,f(x)不可能有两个极值点. 7分
(3)当0<a<1时,设h(x)=lnx+1-ax,则h¢(x)=-a.
当x∈(0,)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(,+∞)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减. 9分
因为f¢()=h()=ln>0,f¢()=h()=-<0,
所以f(x)在区间(,)有一极小值点x1. 10分
由(Ⅰ)中的①式,有1≥,即lnx≤x-1,则ln≤-1,
故f¢()=h()=ln2+2ln+1-≤ln2+2(-1)+1-=ln2-1<0.
所以f(x)在区间(,)有一极大值点x2.
综上所述,a的取值范围是(0,1).
核心考点
举一反三
(Ⅰ)若,讨论的单调性;
(Ⅱ)时,有极值,证明:当时,
(Ⅰ)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设且,若函数和在以为端点的开区间上单调性一致,求的最大值.
A.[,1) | B.[,1) | C., | D.(1,) |
(1)若函数在区间上存在极值点,求实数的取值范围;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.(,为自然对数的底数)
(1)当时,求在最小值;
(2)若存在单调递减区间,求的取值范围;
(3)求证:().
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